CURIOSIDADES

TEOREMA DE PITÁGORAS

Enunciado que afirma que o quadrado (produto da multiplicação de uma quantidade por ela mesma) do comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo (que tem um ângulo reto) é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, chamados catetos. A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto do triângulo retângulo.
Por exemplo, no triângulo retângulo, de hipotenusa com 5 cm, e catetos com 3 cm e 4 cm, temos: 5 x 5 = (3 x 3) + (4 x 4); 9 + 16 = 25. Números como 5, 4 e 3, assim relacionados, são chamados pitagóricos.
O Teorema de Pitágoras constitui, na chamada Geometria Euclidiana, uma base para definições de distância. Através de uma triangulação, por exemplo, é possível fazer levantamentos topográficos.
Pitágoras de Samos (580?a.C.-500?a.C.) é o filósofo grego a quem se atribui a demonstração do teorema pela primeira vez. Ele e os seus seguidores são responsáveis por pesquisas importantes em Matemática, Astronomia e teoria musical.

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A CIRCUNFERÊNCIA DE 360º

Entre os anos de 180 e 125 ªC., viveu na Grécia um matemático que se tornaria famoso: Hiparco de Nicéia. Assim como a maioria dos matemáticos de sua época, Hiparco era fortemente influenciado pela matemática da Babilônia. Como os babilônios, ele também acreditava que a melhor base para realizar contagens era a base 60.
Os babilônios não haviam escolhido a base 60 por acaso. O número 60 tem muitos divisores – 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 – e pode ser facilmente decomposto num produto de fatores, o que facilita muito os cálculos, principalmente as divisões.
Foi por essa mesma razão que, ao dividir a circunferência, Hiparco escolheu um múltiplo de 60:
Cada uma das 360 partes iguais em que a circunferência foi dividida recebeu o nome de arco de 1 grau. Cada arco de 1 grau foi dividido em 60 partes iguais e cada uma dessas partes recebeu o nome de arco de 1 minuto. Cada arco de 1 minuto também foi dividido em 60 arcos de 1 segundo.
1 minuto = 1´
1 segundo = 1´´
Com a circunferência de 360º, ficou fácil criar uma unidade de medida para os ângulos:
a) ângulo de 1º é um ângulo que determina um arco de 1º em qualquer circunferência com centro no vértice desse ângulo;
b) ângulo de 90º é um ângulo que determina um arco de 90º em qualquer circunferência com centro no vértice desse ângulo.
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A MEDIDA DA CIRCUNFERÊNCIA DA TERRA

No mesmo período em que viveu Arquimedes, outro matemático grego também se destacou: Eratóstenes (276 – 196 a.C.).
Natural de Cirene, Eratóstenes viveu parte da juventude em Atenas. Foi um atleta bastante popular, destacando-se em várias modalidades esportivas. Autor de muitos livros de Astronomia e Geometria, escreveu ainda poesias e textos para teatro.
Nenhuma de suas obras, porém, chegou até nós. Tudo o que sabemos sobre Eratóstenes é através de outros autores.
No entanto, apesar de seus múltiplos interesses, ele não conseguiu ser pioneiro em nenhuma das atividades que desenvolveu, nas Ciências ou nas Letras. Por esse motivo, os gregos o chamavam de Beta (ß), que é a segunda letra do alfabeto grego, deixando claro que o reconheciam como o segundo em tudo, mas nunca o melhor em nada.
Mas, façamos justiça. Nenhum matemático ou astrônomo se igualou a Eratóstenes nos cálculos para medir a circunferência da Terra.
Uma das questões que desafiaram os matemáticos e astrônomos da Antigüidade foi a determinação do tamanho do Sol e da Lua. Para chegar a essas medidas, era necessário conhecer o tamanho da circunferência da Terra.
Muitos matemáticos daquela época se dedicaram a medir a Terra, mas foi Eratóstenes que fez a demonstração mais interessante. Vejamos como ele procedeu.
Eratóstenes sabia o dia exato em que iria ocorrer o solstício de verão na cidade de Assuan, às margens do rio Nilo. Nesse dia especial, ao meio-dia, o Sol ficava completamente a pino. Desse modo, uma vareta fincada verticalmente no solo não fazia nenhuma sombra nesse horário. E o fundo de um poço ficava completamente iluminado.
Fincando uma vara num plano horizontal, durante a luz do Sol, verificamos que o tamanho da sombra projetada pela vara apresenta variações. No início da manhã, o comprimento da sombra é bem longo, e vai diminuindo, até atingir um ponto mínimo para logo depois voltar a se alongar até o pôr-do-sol.
Chamamos de meio-dia o instante em que a sombra da vara tem o menor comprimento.
Se medirmos a sombra ao meio-dia, durante vários dias sucessivos, veremos que ela varia. Os antigos já sabiam que, quanto mais quente estivesse o clima, menor era a sombra do meio-dia.

Solstício de verão é o dia em que essa sombra é mínima. O solstício define o início do verão. Da mesma forma, o início do inverno é definido pelo solstício de inverno, dia em que a sombra do meio-dia é máxima.
Em São Paulo, o solstício de verão ocorre em 22 de dezembro e o solstício de inverno, em 22 de junho. Em Assuan, essas datas se invertem: o solstício de verão acontece em 22 de junho e o de inverno, em 22 de dezembro.
O termo solstício vem do latim e significa sol estático.
Aproveitando-se desse fato, Eratóstenes dirigiu-se à cidade de Alexandria e, aproximadamente no mesmo horário em que o Sol ficava a pino em Assuan, fincou verticalmente uma vareta no chão. A seguir, mediu o ângulo formado pela vareta e pelo segmento formado pela ponta da vareta com a extremidade da sombra.
Vamos acompanhar o raciocínio de Eratóstenes:
. C é o centro da Terra;
. a vareta em Assuan não forma sombra;
. a é o ângulo formado pela vareta e sua sombra, em Alexandria;
. b é o ângulo com vértice no centro da Terra, cujos lados são formados pelos prolongamentos das varetas fincadas em Alexandria e Assuan.
Como os raios de Sol são aproximadamente paralelos, as retas r e s são paralelas e os ângulos a e b são alternos internos. Portanto, a e b são congruentes: a = b
Eratóstenes descobriu que o ângulo a media 1/50 de toda a circunferência da Terra.
Como a = b, a distância entre Assuan e Alexandria também era 1/50 da circunferência da Terra.
A distância aproximada entre Assuan e Alexandria era de 5.000 stadium. O stadium, antiga medida grega, valia: 1 km = 6,3 stadium.
Eratóstenes concluiu, então, que a circunferência da Terra era aproximadamente igual a:
50 x 5.000 = 250.000 stadium.
Em quilômetros, temos:
1 km --------------- 6,3 stadium
x km --------------- 250.000 stadium
Então, resolvendo-se a proporção, temos que x = 39.682 km.
Sem dúvida, determinar a medida da circunferência da Terra foi a grande façanha de Eratóstenes. Além disso, ele ainda se defrontou com um problema que até então os matemáticos não haviam resolvido: uma unidade prática para medir ângulos e arcos de circunferência.
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TEOREMA DE TALES

Por volta do ano do ano 600 a.C., o sábio grego Tales de Mileto fez uma viagem ao Egito. O faraó já conhecia sua fama de grande matemático. Ouvira dizer até que Tales era capaz de uma incrível façanha: podia calcular a altura de uma construção, por maior que fosse, sem precisar subir nela.

Por ordem do monarca, alguns matemáticos egípcios foram ao encontro do visitante e pediram-lhe que calculasse a altura de uma das pirâmides. Tales ouviu-os com atenção e se dispôs a atendê-los imediatamente.
Já no deserto, próximo à pirâmide, o sábio fincou no chão uma vara, na vertical. Observando a posição da sombra, Tales deitou a vara no chão, a partir do ponto em que foi fincada, marcando na areia o tamanho do seu comprimento. Depois, voltou a vara à posição vertical.
- Vamos esperar alguns instantes, disse ele. Daqui a pouco poderei dar a resposta.
- Ficaram todos ali, observando a sombra que a vara projetava. Num determinado momento, a sombra ficou exatamente do comprimento da vara. Tales disse então aos egípcios:
- Vão depressa até a pirâmide, meçam sua sombra e acrescentem ao resultado a medida da metade do lado da base. Essa soma é a altura exata da pirâmide.

Qual é o segredo?
Não é exatamente um segredo, mas um grande conhecimento de Geometria, usado para resolver uma questão prática.
No momento em que a vara e sua sombra têm exatamente o mesmo tamanho, formam um triângulo retângulo e isósceles, semelhante a outro triângulo retângulo e isósceles formado pela pirâmide e por sua sombra.
Por semelhança de triângulos, Tales deduziu que a altura da pirâmide é igual à sombra mais a metade da base.
Uma simples vara, duas sombras e que magnífica idéia!

O famoso Teorema de Tales
Temos tão poucas informações sobre a vida e a obra de Tales de Mileto, que não podemos precisar a época exata em que viveu. Sabemos, apenas, que foi por volta de 585 a.C.
Entre as muitas demonstrações de Geometria atribuídas a Tales, a mais importante é a de um teorema que leva o seu nome e diz o seguinte:
“Um feixe de paralelas determina sobre duas transversais segmentos proporcionais.”

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O PI

Um número irracional não é absolutamente a expressão de alguma coisa que nos foge à razão, nem significa algo que esteja fora da nossa capacidade de raciocínio. Irracional aí quer apenas dizer que o referido número não pode ser escrito sob a forma de uma fração como “a/b”, onde “a” e “b” sejam números inteiros. Fração é o mesmo que razão e daí vem o qualificativo irracional. E o número “?” é um deles.
Se dividirmos o comprimento de uma circunferência (qualquer que ela seja) pelo seu diâmetro, encontraremos sempre o mesmo quociente. Essa divisão nunca é exata, por mais que se continue. O resultado é um pouco maior que 3. Mas não chega a 3,2. Se escrevermos 3,1416 (como é muito conhecido), não estaremos escrevendo o número exato, porque sua parte decimal tem não apenas quatro, mas uma quantidade infinita de algarismos. Por isso, por não ser possível escrevê-lo por completo, W. Jones introduziu em 1706 um símbolo para o mesmo: a letra grega ?.

A solução prática
Embora tal notação, significando a relação entre a circunferência e seu diâmetro, só fôsse adotada no século XVIII, quase todos os povos antigos procuraram obter, com maior ou menor precisão, o valor dessa relação. Isso porque sempre houve necessidade de resolver problemas geométricos. A geometria, para esses povos, era sobretudo prática. Através de tentativas, eles buscavam a solução para os problemas que se apresentavam. Assim foi quando precisaram avaliar a área de um círculo, que hoje nós sabemos calcular simplesmente multiplicando por ? o quadrado do seu raio.
Os egípcios, por exemplo, recomendavam esta receita para o referido cálculo: subtraia-se do comprimento do diâmetro sua nona parte e multiplica-se o resultado por si mesmo. Para eles, dessa forma, ? não era irracional e eqüivalia à fração 256/81 ou, aproximadamente, 3,1605. Os babilônicos eram menos rebuscados: mediram a circunferência e seu diâmetro, dividiram um valor pelo outro e, numa apreciação errônea, acharam o valor redondo de 3. Também a Bíblia, conforme se lê no “Livro dos Reis”, faz menção a este valor, um pouco menor que o verdadeiro. O mesmo número aparece em escritos da China antiga. Já o indiano Brahmagupta deixou-se levar pelas aparências e julgou que o verdadeiro valor de ? fosse a raiz quadrada de 10, ou seja, 3,162278...

A solução teórica
O grego Arquimedes imaginou o método seguinte para calcular ?: Se um quadrado é inscrito em um círculo, sua área é menor que a do círculo. Se o quadrado, porém, estiver circunscrito, sua área será maior que a do círculo.
Vamos agora dobrar dobrar o número de lados do polígono inscrito. A área do octógono resultante ainda será menor que a do círculo, mas a diferença entre elas diminuiu. De maneira semelhante, dobrando o número de lados do polígono circunscrito, o octógono terá ainda uma área maior que a do círculo, mas não muito maior.
Aumentando-se cada vez mais o número de lados dos polígonos inscrito e circunscrito, cada vez ficará menor a diferença entre suas áreas e a do círculo. As áreas dos polígonos inscritos se aproximarão continuamente da área do círculo, mantendo-se sempre os menores. Da mesma forma, as áreas dos polígonos circunscritos ficarão cada vez mais próximas da área do círculo, mas permanecendo ligeiramente maiores. Portanto, o valor da área do círculo, que sabemos ser igual a ?R2, estará sempre compreendido entre os valores das áreas dos polígonos nele inscritos a ele circunscritos.
Se o círculo escolhido tiver o seu raio igual a 1, a sua área, ?R2, será igual a ?. Assim, o valor de ? é um número que está entre os valores das áreas dos polígonos inscrito e circunscrito para um círculo de raio igual à unidade. Se tormarmos para ele o valor da área do polígono inscrito, teremos um erro por falta; no caso do circunscrito, um erro por excesso.
Arquimedes, calculando as áreas de polígonos de 96 lados, mostrou que ? é menor que 3+10/70 e maior que 3+10/71, ou seja, está entre 3,1418 e 3,1418.

Um problema curioso
Pelo fato de ser uma constante, a razão entre as circunferências e seus diâmetros é responsável por questões bastantes curiosas.
Supondo a Terra esférica e passando-se um barbante bem justo ao redor da mesma, digamos, por um dos meridianos, temos uma circunferência cujo raio mede 6.378 quilômetros. Se aumentarmos esse barbante de 1 metro, haverá uma folga entre a nova circunferência e a Terra. Pergunta-se: que animal poderia passar por essa folga?
Façamos a mesma coisa com uma bola de futebol, isto é, passamos um barbante bem justo ao seu redor, e depois aumentamos esse barbante também de 1 metro.
Que animal poderia passar entre o barbante e a bola? Maior, menor ou o mesmo animal que no caso da Terra?
A solução do problema, à seguir, mostra que só poderia passar entre o barbante e a Terra um animal que tivesse no máximo 16 cm: nada mais alto que um pequeno gato. Estranho como pareça, a folga é a mesma, no caso da bola de futebol.
Isto significa que, se acrescentarmos aos comprimentos de quaisquer circunferências um comprimento constante “s”, os raios sofrerão o mesmo acréscimo “d”, sendo d = s/2?.

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RETÂNGULO ÁUREO
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PROPORÇÕES ÁUREAS

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O ELEMENTO

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TRIÂNGULOS NO CÉU